MATEMATY?YN TARYHY
Tarih Öncesi Ça?larda Aritmetik
Sayy ve biçime ili?kin kavramlarla tany?mamyz Yontma Ta? Devri’ne kadar uzanyr .Yüzbinlerce yyl boyunca insanlar , hayvanlaryn ya?ady?y ko?ullardan pek farkly olmayan bir biçimde ma?aralarda ya?adylar .Enerjilerinin ço?unu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcyyorlardy .Avlanmak ve balyk tutmak için silahlary , birbirleriyle anla?mak için konu?ma dilini geli?tirdiler .Yontma Ta? Devri’nin sonlaryna do?ru da yaratycy sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak ya?amlaryny renklendirdiler .Fransa ve Yspanya’daki yakla?yk 15.000 yyl öncesinin ma?ara duvar resimlerininayinsel bir anlamy olabilir , ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayy?y gösteriyorlardy .
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine geli?mi?ti ki , yüzlerce mil uzaklyktaki köyler arasyndaki ili?kilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bakyryn daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapyldy .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da geli?mesine yol açty .Bu dillerdeki nesnelerin ço?unlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayyda olmasyna kar?yn bazy sayysal terimler ortaya çykty .Benim dü?üncelerime göre matemati?in ilk kez ortaya çykty?y ça? Maden Ça?ydyr .
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith’in “insan aklynyn ürünü en soyut dü?ünceler” olarak tanymlady?y sayysal terimlerin kullanylmaya ba?lanmasy çok yava? oldu .Bunlar ilk ortaya çyktyklarynda bir cismin sayysyny de?il niteli?ini gösteriyordu .Örne?in ; “bir insan” de?il sadece “insan” kavramyny gösteriyordu .Sayysal kavramlaryn bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazy dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayy kavramy geli?tikçe toplama yoluyla

daha büyük sayylar olu?turuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile 2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .
Y?te bazy Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea , 4 =petcheval - petcheval
Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan , 5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin geli?mesi sayy kavramynyn netle?mesine yardym etti .Sayylar , ticaret yaparken do?al bir yöntem olan bir ya da iki elin parmaklary kullanylarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak ?imdiki okullarda okuyan küçük synyflarda ki çocuklaryn sayma yöntemini verebilirim .Bu olayyn sonucunda önce 5 sonra 10 tabanly sayy sistemleri olu?turulup , bunlar toplama ve bazen çykarma ile tamamlandy .Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 ,10-1 olarak algylandy .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarynyn toplam sayysy olan 20 kullanyldy .Yapylan ara?tyrmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandy?y 307 sayy siteminden 146’sy onluk , 106’sy onluk , onikilik ve yirmilik sayy sistemlerinin kary?ymyydy .Ço?u ki?i tarafyndan yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayy sisteminin olmasy önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onlaryn da en az bizim kadar zeki olduklaryny anladym .Yirmili sayy sisteminin en tipik biçmi Meksika’da Mayalar ve Avrupa’da Keltler tarafyndan kullanyldy .
Sayylar kümelere ayrylarak , tahtanyn üstüne çentik , ipin üstüne dü?üm atylarak ya da deniz kabuklarynyn be?li yy?ynlar biçiminde düzenlenmesiyle sayysal kayytlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hancylarynyn çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarly?yn do?u?u da denen yazyly tarihin ba?langycyndan beri kullanylmy?tyr .
Yontama Ta? Devri’ne kadar uzanan en eski çetele çubu?u 1937’de Vestonica’da bulunmu?tur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunlu?undaki ön kol

kemi?iydi ve üzerinde ilk 25’i be?li gruplar halinde düzenlenmi? 55 çentik bulunmaktaydy .Dizinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardy .Yeni dizinin ba?yndaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten olu?an bir dizi izliyordu .
Böylece , syk syk söylenen “eski zamanlarda sayma parmaklara dayalyydy .” görü?ü geçerlili?ini kaybetmi? oldu .Yazy olmamasyna ra?men Yontma Ta? Devrin’deki insanlaryn çetele çubuklaryny duymak ilginç gelebilir .Fakat gerçek .
Parmaklar kullanylarak sayy saymak yani 5’erli 10’arly saymak ancak toplumsal geli?imin belirli bir a?amasynda ortaya çykar .Bu a?amadan sonra sayylar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayylaryn ortaya çykmasyna yardym etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çykty .14 bazen 10+4 , bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu .20’nin 10+10 de?il de 2´10 olarak gösterilmesiyle çarpma ba?lady .Bölme , 10’un “vücudun yarysy” olarak gösterilmesiyle ba?lady , ama kesirlerin bilinçli bir ?ekilde olu?turulmasy hala çok enderdi .Kuzey Amerika’da kabilelerin ancak birkaçynda böyle kesirler biliniyordu , ço?u durumda bu ½’ydi .Bazen 1/3
ya da ¼’de kullanylyyordu .Bir ba?ka ilginç durum çok büyük sayylara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklü?ü ya da öldürülen dü?manlaryn çoklu?unu abartma iste?inin sonucudur .Bu e?ilimin kalyntylary Yncil’de ve di?er kutsal metinlerde de ortaya çykar .

Tarih Öncesi Ça?larda Geometri

Cisimlerin uzunluklaryny ve içindekileri ölçmek gerekince , genelde insan vücudunun bölümleri kullanylarak ; parmak , ayak , kary? gibi basit ölçüler kullanyldy .Ar?yn , kulaç adlary bize bu gelene?i hatyrlatyr .Ev yaparken Hint köylüleri de , Orta Avrupa’da kutup evi yapanlar da yapylary düz çizgiler boyunca ve yere göre dik açyyla yapmak için kurallar geli?tirdiler .Örne?in ; “Düz sözcü?ü “germek” sözcü?ü ile ilgilidir ve iple yapylan i?lemleri gösterir .”Do?ru” ve “Keten kuma?”

sözcükleri , dokumacylyk ile geometrinin ba?langycy arasyndaki ba?lantyyy gösterir .Dokumacylyk ölçmeye ili?kin ilginin ba?lama yollaryndan biriydi .
Cilaly Ta? Devri insany geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu .Çömleklerin pi?irilmesi ve boyanmasy , sazlaryn örülmesi , sepet yapymy ve kuma? dokumacyly?y , daha sonra da metallerin i?lenmesi , düzlemsel ve alansal ili?kilerin kavranmasyny geli?tirdi .Dans figürleri de bunda rol oynamy? olmaly ki Cilalyta? Devri’nde yapylan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür ; e? ?ekiller kullanylyrdy .Bazy tarih öncesi desenler de üçgensel sayylar , bazylarynda ise “kutsal” sayylar yer alyyordu .Pisagor matemati?inde önemli rol oynayan üçgensel sayylaryn olu?turulma çabalary yansymaktadyr .
Bu tür desenler tarih boyunca yaygyn olarak kullanylmy?tyr .Bunlaryn çok güzel örneklerine Girit’teki Minos ve erken dönem Yunan vazolarynda , daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde , Pers ve Çin duvar halylarynda rastlanyr .Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlamy olabilir , ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana çykmy?tyr .
Ta? Devri dinlerinde , do?a güçlerine egemen olma çabasynyn ilkel bir biçimini fark edebiliriz . Dinsel törenler büyü ile iç içeydi .Büyü ö?esi de o zamanlar var olan sayy ve biçime ili?kin kavramlarda , heykel , müzik ve resimlerde içeriliyordu .3,4,7 gibi sihirli sayylar , Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vardy .Matemati?in toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikle?mi?se de insanlyk tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler açykça görülebilmektedir ve bazy yazarlar , matemati?in bu yönünün onun geli?iminde belirleyici oldu?u görü?ündedir .”Modern” sayy bilimi , Cilaly hatta belki de Yontma Ta? Devri’nin büyü törenlerinin mirasydyr .

Zaman Kavramy

En ilkel kabilelerde bile bir “zaman” kavramyna rastlanyr ve bunun sonucu olarak da Güne? Ay ve yyldyzlaryn hareketleriyle ilgili bazy bilgileri edinmi?lerdi .Bu bilgiler , çiftçilik ve ticaret geli?tikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya
ba?lady .Bitkilerdeki de?i?imlerin Ay’daki de?i?imlerle ili?kilendirildi?i Ay takviminin kullanylmasy , insanlyk tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzanyr .Ylkel insanlar gündönümünü ya da ?afakta yedi yyldyzly Süreyya burcunun yükseli?ini ilgiyle izliyordu .Ylk uygarlyklary kuran insanlaryn astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayanyyordu .Ylk insanlar , takym yyldyzlaryndan denizcilikte yararlandylar .Astronomiye ili?kin bu gözlemlerinin sonunda kürenin , dairenin ve açysal yönlerin özellikleri hakkynda bilgi edinildi .
Matemati?in ba?langycyna ili?kin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel geli?iminin , ?imdi bu alandaki ö?retimde geli?tirdi?imiz a?amalarla çaky?mayabilece?ini göstermektedir .Ynsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan dü?ümlere ve desenlere ancak son yyllarda bilimsel bir ilgi gösterilmi?tir .Öte yandan , grafikle gösterim ya da istatistik gibi matemati?in temel dallarynyn ba?langycy modern zamanlardadyr .Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda ?öyle dü?ünmektedir :
“Matemati?e giri?in do?asynda var olan sykycyly?yn ön plana çykma e?iliminin geç ba?langycynyn sonucu oldu?u söylenebilir ; çünkü yaratycy bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle u?ra?mayy ye?ler .”

ESKY UYGARLIKLARIN MATEMATYKLERY

Do?u Matemati?i
Do?u matemati?i uygulamaly bilim kökenliydi .Takvimin hesaplanmasy , tarymsal üretim ve bayyndyrlykla ilgili i?lerin örgütlenmesi , vergilerin toplanmasy uygulamaly aritmetik ve ölçme sorunlaryna öncelikle a?yrlyk verilmesini gerektirdi .Bununla birlikte , yüzyyllar boyunca özel bir zanaat olarak geli?en bilim yalnyzca uygulamaya yönelik de?ildi ; syrlar ö?retilirken , soyutlamayayönelik e?ilimler de ortaya çykty .Aritmeti?in cebire dönü?mesi yalnyzca daha pratik hesaplamalar sa?lady?y için olmady ; bu , ayny zamanda yazycy okullarynda ö?retilen bir bilimin
do?al bir geli?imiydi .Ayny nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin ba?langycyny olu?turdu .

Mysyr Matemati?i

Mysyr matemati?ine ili?kin bilgilerimizin ço?u iki kayna?a dayanyr .Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yyl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsü’dür .Bu elyazmalary düzenlenirken , içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yakyn dönemden , hatta Roma döneminden kalma az sayydaki papirüsteki yöntemler de bundan farkly de?ildi .Kullandyklary matematik onlu sayy sistemine dayanyyordu ve 10’dan büyük her 10’lu birim için özel simgeler kullanylyyordu .Bu tür sistemleri Roma rakamlaryndan biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878 .Bu sistemi kullanan Mysyrlylar , çarpmayy ardy?yk toplamalara indirgeyen , toplama a?yrlykly bir aritmetik geli?tirdi .Örne?in , bir sayyyy 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8’le çarpyyorlardy daha sonra çykan sonucu sayynyn kendisine ekliyorlardy .Bu i?lemi yaparak inceleyelim :

Görüldü?ü gibi sonuç ayny .Mysyr matemati?inin en önemli yönü kesirlerle yapylan hesaplamalardyr .Bütün kesirler , payy bir olan birim kesirlerin toplamy olarak yazylyrdy .
Bazy problemlerin teorik yanlary a?yr basyyordu .Örne?in 100 somun ekme?i 5 ki?i arasynda , her birine dü?en pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 payyn toplamynyn yedide biri en küçük iki payyn toplamyna e?it olacak biçimde bölü?türülmesi problemi böyleydi .7 evin her birinin 7 kedisi , her kedinin
kovalady?y 7 farenin oldu?u problem , geometrik olarak artan bir serinin toplamynyn formülünü bildiklerini gösteriyordu .
Böyle problemler için yazylmy? ?iirler , ?arkylar bile vardyr .?u ?iiri anymsayalym :

Mezopotamya Matemati?i

Mezopotamya matemati?i , Mysyr matemati?inin hiçbir dönemde ula?amady?y bir düzeye eri?ti .Burada yüzyyllar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz .M.Ö 2100’deki en eski metinlerde bile geli?mi? hesap izleri bulunur .Bu metinlerde 10’lu sistemin üzerine 60’ly sistemin eklendi?i çarpym tablolary bulunmaktaydy .1 , 60 , 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2’yi gösteren çiviyazysy simgeler kullanylmy?ty .Ama bu onlaryn matemati?inin tipik özelli?i de?ildi .Mysyrlylar daha büyük her sayyyy yeni bir simge ile gösterirken , Sümerliler ayny simgeyi kullanyp de?erini bulundu?u yere göre belirliyorlardy .
Ayryca 60’ly sayy sistemi insanly?yn kalycy bir kazanymy oldu .Günümüzde kullandy?ymyz saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de , dairenin 360 dereceye , her derecenin 60 dakikaya , her dakikanyn da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerliler’e kadar uzanyr .Birim olarak 10 yerine 60’yn alynmasynyn sebebi ölçme sistemlerini birle?tirmek olabilece?i gibi 60’yn birçok böleninin olmasy da nedenlerden biri olabilir .

MISIR HYYEROGLYFLERY

E?er yazylarynyzy eski Mysyr hiyeroglifleriyle yazarsanyz ço?u ki?i bunlary okumaya çaly?maktan vazgeçecektir .
Eski Mysyr Hiyeroglifleri’nden Mysyr rakamlaryny ö?renmek çok kolaydyr ; çünkü hepsinin bir görsel anlamy vardyr .Büyük bir olasylykla yazy yazmaya ba?lamadan once Mysyrlylar , sayy saymak için parmaklaryny kullanyyorlardy .Ba?ka birinin okumasy için sayy düzenlemeleri gerekti?inde de , yine büyük bir olasylykla , yan yana syralanmy? yapraklar , ip parçalary ve çiçekler byrakyyorlardy .Neden mi böyle dü?ünüyoruz ? Çünkü daha sonradan hiyeroglif yazy sistemini geli?tirdiklerinde , yaprak ip parçalary , çiçek ve hatta yylan ve iriba?lar kullanmy?lar

SYHYRLY MATEMATYK

Sayylar ?a?maz .Bu matemati?in temelidir .Hüner , bu sayylary yerinde kullanabilmekte ve aralaryndaki ba?yntylaryn özelli?ini tanyyabilmektedir .
Biz de istersek , küçük bir çaba ile matemati?in sihirli yönünü tanyyabiliriz .Tam sayylar arasyndaki dört i?lemi yapabilen her ö?renci bu matematik oyunlaryny ö?renebilir ve uygulayabilir .
Oyun 1 :Kar?ynyzdakinin hangi ay ve günde do?du?unu kolayca söyleyebilirsiniz ; yeter ki kar?ynyzdaki ?u iste?inizi syrasyyla yerine getirsin .
Do?du?u ay kaçyncy ay ise onu 5 ile çarpsyn .7 eklesin .4 ile çarpsyn .Sonra 13 eklesin .5 ile çarpsyn .Çykan sayyya do?um gününü eklesin .Çykan sayyyy sorun ve bu sayydan 205 sayysyny çykarmasyny isteyin .Sonuçta ilk rakam do?du?u ay , di?er iki rakam ise do?um günüdür .
Oyun2 :Arkada?ynyzyn ya?y ile birlikte ev numarasyny da bulabilirsiniz .Bunun için eviniin numarasyny iki ile çarpsyn .Haftanyny günlerini eklesin .Çykany 50 ile
çarpsyn .Ya?yny eklesin 365 çykarsyn .15 eklesin .Elde edilen sayynyn son iki rakamy ya? ondan öncekiler ev numarasydyr .
Oyun3 :Ço?unuz do?um gününüzün yylyn kaçyncy ayy ve günü oldu?unu bilirsiniz de Bunun haftanyn hangi gününe rastlady?yny kesin olarak bilemezsiniz .Ya da tarih kitaplarynda ?öyle bir tarih görürsünüz .4 Temmuz 1862 .Acaba bu tarih haftanyn hangi gününe rastlyyor diye merak edersiniz .?imdi yapaca?ymyz i?lem bu günü bulamamyzy sa?layacaktyr .
Do?um yylynyzyn son iki rakamyny yazyn .Örne?in , siz 1990’da mayysyn 25’inde do?mu? olsanyz , ilk yazaca?ynnyz sayy 90’dyr .Bunu dörde bölün .Artan varsa atyp tam bölümü alyn .Örnekte bu 22’dir .A?a?yda anahtaryny verdi?imiz do?uma ayyna ait rakamy alyn .Bu örnekte anahtar 2’dir .Ayyncy kaçyncy gününde do?mu?sanyz o sayyyy da alyn .Bu örnekte 25’dir .?imdi 1,2,3,4 numaraly anlatymlardaki sayylary toplayyn .Yani (90+22+2+25=139)
Bu rakamy 7’ye bölün .Bölümü atyn , kalany alyn .Kalan sayyyla 2.sonuç levhasynda do?um gününüzü bulabilirsiniz .

Anahtar Sayylar :Ocak 1 , ?ubat 4 , Mart 4 , Nisan 0 , Mayys 2 , Haziran 5 , Temmuz 0 , A?ustos 3 , Eylül 6 , Ekim 1 , Kasym 4 , Aralyk 6 .
Sonuç Levhasy : 2 Pazartesi , 3 Saly , 4 Çar?amba , 5 Per?embe , 6 Cuma , 0 Cumartesi , 1 Pazar .
Burada dikkat edilecek bir nokta var .Do?um yylynyz artyk yyl yani 366 günlük yyl ise , anahtar levhasynda ?u de?i?ikli?i yapynyz : Ocak 0 , Haziran 3 .

MATEMATYK BYLEN ALDANMAZ

A. Paulosbirincisi kurmaca , ikincisi gerçek olan iki öykü anlatyyor .
Birinci öyküde iki saray seçkini yan yana ata binmi? dola?yyorlar .Biri di?erine , “Bulabildi?in en büyük sayyyy söyle bakalym diyor .” Ykincisi biraz
dü?ündükten sonar sevinçle “ÜÇ” diye haykyryyor .Soru soran bir süre dü?ündükten sonar , pes ediyor ve oyunu kaybediyor .
Ykinci öyküyse , matematikçi G. H. Hardy’yle ba?ka bir ünlü matematikçi hastanede Romanujan’y ziyarete gitmi? .Laf olsun diye söze ?öyle ba?lamy? : “Gelirken bindi?im taksinin numarasy çok syradandy :1729 “Romanujan hemen atylmy? :”Syradan olur mu hiç ?… Son derece ilginç bir sayy bu ! Yki farkly biçimde iki sayynyn küpünün toplamy olarak yazylabilecek en küçük sayy bu !”(Meraklylary için verelim .12 ve 1 , 10 ve 9’un küpleri sonucu sa?lyyor.)
Ramanujan , büyük sayylarla bile karma?yk i?lemler yapmada ustala?my? biriydi .Birinci öyküde ki kahraman ise hemen pes etti?ine gore belli ki 3’ten daha büyük bir sayy hayal edemiyor .Bu ilk baky?ta inanylmaz gibi görünebilir .Yine de hemen aldanmayyn .Avustralya’daki Aranda kabilesinin üyeleri gibi daha pekçok yerlerdeki yerliler 3’e kadar bile tam anlamyyla sayamyyorlar .Bu insanlaryn dillerinde sadece 1 ve 2’yi anlatan sözcükler var .3 için biriki , 4 için ikiiki .4’ten sonraki tüm sayylar ise “çok” .Aslynda çok büyük sayylary anlatmanyn çok çe?itli yollary var .Sözgelimi birin pe?ine kaç tane 0 koydu?umuzu söyleyebiliriz .